MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiTrigonometrieProgresii Aritmetice
Demonstrați că pentru orice numere reale x,y,zx, y, z, determinantul ∣1cos⁡xsin⁡x1cos⁡ysin⁡y1cos⁡zsin⁡z∣\begin{vmatrix} 1 & \cos x & \sin x \\ 1 & \cos y & \sin y \\ 1 & \cos z & \sin z \end{vmatrix} se poate exprima ca 4sin⁡(x−y2)sin⁡(y−z2)sin⁡(z−x2)4 \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \sin\left(\frac{y-z}{2}\right) \sin\left(\frac{z-x}{2}\right). Utilizați acest rezultat pentru a arăta că determinantul este zero dacă și numai dacă x,y,zx, y, z sunt în progresie aritmetică cu rația 2kπ2k\pi pentru un k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Expandarea determinantului: det⁡=1⋅(cos⁡ysin⁡z−sin⁡ycos⁡z)−cos⁡x⋅(1⋅sin⁡z−sin⁡y⋅1)+sin⁡x⋅(1⋅cos⁡z−cos⁡y⋅1)=sin⁡(z−y)−cos⁡x(sin⁡z−sin⁡y)+sin⁡x(cos⁡z−cos⁡y)\det = 1 \cdot (\cos y \sin z - \sin y \cos z) - \cos x \cdot (1 \cdot \sin z - \sin y \cdot 1) + \sin x \cdot (1 \cdot \cos z - \cos y \cdot 1) = \sin(z-y) - \cos x (\sin z - \sin y) + \sin x (\cos z - \cos y). \
23 puncte
Aplicarea identităților trigonometrice: sin⁡(z−y)=2sin⁡(z−y2)cos⁡(z−y2)\sin(z-y) = 2 \sin\left(\frac{z-y}{2}\right) \cos\left(\frac{z-y}{2}\right), sin⁡z−sin⁡y=2cos⁡(z+y2)sin⁡(z−y2)\sin z - \sin y = 2 \cos\left(\frac{z+y}{2}\right) \sin\left(\frac{z-y}{2}\right), cos⁡z−cos⁡y=−2sin⁡(z+y2)sin⁡(z−y2)\cos z - \cos y = -2 \sin\left(\frac{z+y}{2}\right) \sin\left(\frac{z-y}{2}\right). Înlocuim și factorizăm: det⁡=2sin⁡(z−y2)[cos⁡(z−y2)−cos⁡xcos⁡(z+y2)−sin⁡xsin⁡(z+y2)]=2sin⁡(z−y2)[cos⁡(z−y2)−cos⁡(x−z+y2)]\det = 2 \sin\left(\frac{z-y}{2}\right) \left[ \cos\left(\frac{z-y}{2}\right) - \cos x \cos\left(\frac{z+y}{2}\right) - \sin x \sin\left(\frac{z+y}{2}\right) \right] = 2 \sin\left(\frac{z-y}{2}\right) \left[ \cos\left(\frac{z-y}{2}\right) - \cos\left(x - \frac{z+y}{2}\right) \right]. Folosind cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡(A+B2)sin⁡(A−B2)\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right), obținem det⁡=4sin⁡(x−y2)sin⁡(y−z2)sin⁡(z−x2)\det = 4 \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \sin\left(\frac{y-z}{2}\right) \sin\left(\frac{z-x}{2}\right). \
33 puncte
Condiția det⁡=0\det=0: 4sin⁡(x−y2)sin⁡(y−z2)sin⁡(z−x2)=04 \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \sin\left(\frac{y-z}{2}\right) \sin\left(\frac{z-x}{2}\right) = 0, deci cel puțin unul dintre factori este zero. Aceasta înseamnă că diferențele x−yx-y, y−zy-z, z−xz-x sunt multipli de 2π2\pi, adică x,y,zx, y, z sunt în progresie aritmetică cu rația 2kπ2k\pi, de exemplu y=x+2kπy = x + 2k\pi, z=y+2kπ=x+4kπz = y + 2k\pi = x + 4k\pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.