MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
Fie punctele A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6), C(3,1)C(3,1) în plan. Calculați aria triunghiului ABC folosind determinantul. Verificați dacă punctele sunt coliniare. Apoi, considerați sistemul de ecuații {x+2y=54x+6y=143x+y=4\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 4x + 6y = 14 \\ 3x + y = 4 \end{cases} și discutați compatibilitatea folosind determinantul matricei extinse.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aria triunghiului ABC este 12∣∣121461311∣∣\frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} \right|. Calculați determinantul: ∣121461311∣=1⋅∣6111∣−2⋅∣4131∣+1⋅∣4631∣=1(6⋅1−1⋅1)−2(4⋅1−1⋅3)+1(4⋅1−6⋅3)=1(5)−2(1)+1(−14)=5−2−14=−11\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(6 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 2(4 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 1(4 \cdot 1 - 6 \cdot 3) = 1(5) - 2(1) + 1(-14) = 5 - 2 - 14 = -11. Aria = 12∣−11∣=112\frac{1}{2} | -11 | = \frac{11}{2}.
23 puncte
Punctele sunt coliniare dacă determinantul de la pasul 1 este zero. Deoarece det⁡=−11≠0\det = -11 \neq 0, punctele nu sunt coliniare.
33 puncte
Pentru sistemul de ecuații, matricea extinsă este (12∣546∣1431∣4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 5 \\ 4 & 6 & | & 14 \\ 3 & 1 & | & 4 \end{pmatrix}. Determinantul matricei coeficienților pentru primele două ecuații este ∣1246∣=1⋅6−2⋅4=6−8=−2≠0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 - 2 \cdot 4 = 6 - 8 = -2 \neq 0, deci sistemul format din primele două ecuații are soluție unică. Rezolvați: din x+2y=5x+2y=5 și 4x+6y=144x+6y=14, obținem x=2x=2, y=1.5y=1.5. Verificați în a treia ecuație: 3⋅2+1.5=6+1.5=7.5≠43 \cdot 2 + 1.5 = 6 + 1.5 = 7.5 \neq 4, deci sistemul complet este incompatibil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.