MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(1aa21bb21cc2)A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale distincte. Calculați determinantul det⁡(A)\det(A) și demonstrați că este nenul pentru orice a,b,ca, b, c distincte. Apoi, folosind acest determinant, rezolvați sistemul de ecuații liniare: {x+ay+a2z=1x+by+b2z=0x+cy+c2z=−1\begin{cases} x + ay + a^2 z = 1 \\ x + by + b^2 z = 0 \\ x + cy + c^2 z = -1 \end{cases} în funcție de a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează determinantul matricei Vandermonde: det⁡(A)=∣1aa21bb21cc2∣=(b−a)(c−a)(c−b)\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b), folosind operații elementare sau formula specifică.
22 puncte
Deoarece a,b,ca, b, c sunt distincte, factorii (b−a)(b-a), (c−a)(c-a), (c−b)(c-b) sunt nenuli, deci det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, ceea ce asigură existența unei soluții unice pentru sistem.
35 puncte
Aplicând regula lui Cramer, se calculează: x=det⁡(Ax)det⁡(A)x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, y=det⁡(Ay)det⁡(A)y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}, z=det⁡(Az)det⁡(A)z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)}, unde AxA_x, AyA_y, AzA_z se obțin înlocuind coloanele corespunzătoare din AA cu coloana termenilor liberi (1,0,−1)(1, 0, -1). De exemplu, det⁡(Ax)=∣1aa20bb2−1cc2∣\det(A_x) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b & b^2 \\ -1 & c & c^2 \end{vmatrix}. Se evaluează acești determinanți și se simplifică expresiile, obținând soluțiile finale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.