MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie aa, bb, cc rădăcinile ecuației polinomiale x3−3x2+2=0x^3 - 3x^2 + 2 = 0. Calculați determinantul D=∣abcbcacab∣D = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează determinantul D=∣abcbcacab∣D = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} folosind dezvoltarea sau proprietăți, obținând D=a(bc−a2)−b(b2−ac)+c(ab−c2)D = a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2). Simplificând, se exprimă în funcție de a+b+ca+b+c, ab+bc+caab+bc+ca, și abcabc: D=3abc−(a3+b3+c3)D = 3abc - (a^3+b^3+c^3). Folosind identitatea a3+b3+c3=(a+b+c)3−3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abca^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3 - 3(a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc, rezultă D=3(a+b+c)(ab+bc+ca)−(a+b+c)3D = 3(a+b+c)(ab+bc+ca) - (a+b+c)^3.
23 puncte
Din ecuația x3−3x2+2=0x^3 - 3x^2 + 2 = 0, prin relațiile lui Viete, avem: a+b+c=3a+b+c = 3, ab+bc+ca=0ab+bc+ca = 0, abc=−2abc = -2.
33 puncte
Înlocuind în expresia lui DD, obținem D=3⋅3⋅0−33=−27D = 3 \cdot 3 \cdot 0 - 3^3 = -27.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.