MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Demonstrați că det⁡(A)=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)\det(A) = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2). Apoi, pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, determinați dacă sistemul A(xyz)=(666)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} are soluție unică.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Se calculează determinantul matricei A folosind regula lui Sarrus sau dezvoltare după o linie: det⁡(A)=a(bc−a2)−b(b2−ac)+c(ab−c2)=abc−a3−b3+abc+abc−c3=3abc−a3−b3−c3\det(A) = a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 3abc - a^3 - b^3 - c^3. Se factorizează expresia: 3abc−a3−b3−c3=−(a3+b3+c3−3abc)=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)3abc - a^3 - b^3 - c^3 = -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca). Astfel, det⁡(A)=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)\det(A) = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2).
25 puncte
Pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, se înlocuiește în expresia determinantului: det⁡(A)=(1+2+3)(1⋅2+2⋅3+3⋅1−12−22−32)=6(2+6+3−1−4−9)=6(11−14)=6⋅(−3)=−18≠0\det(A) = (1+2+3)(1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot1 - 1^2 - 2^2 - 3^2) = 6(2+6+3 -1-4-9) = 6(11-14) = 6\cdot(-3) = -18 \neq 0. Deoarece determinantul este nenul, sistemul liniar are soluție unică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.