MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrul real kk: {x+y+z=12x+ky+3z=24x+k2y+9z=4\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + ky + 3z = 2 \\ 4x + k^2 y + 9z = 4 \end{cases}. a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului în funcție de kk. b) Să se discute soluțiile sistemului în funcție de valorile lui kk. c) Pentru k=1k=1, să se rezolve sistemul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm determinantul matricei sistemului: D=∣1112k34k29∣D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & k & 3 \\ 4 & k^2 & 9 \end{vmatrix}. Dezvoltăm după prima linie: D=1⋅∣k3k29∣−1⋅∣2349∣+1⋅∣2k4k2∣=(9k−3k2)−(18−12)+(2k2−4k)=9k−3k2−6+2k2−4k=−k2+5k−6=−(k2−5k+6)=−(k−2)(k−3)D = 1 \cdot \begin{vmatrix} k & 3 \\ k^2 & 9 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 9 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & k \\ 4 & k^2 \end{vmatrix} = (9k - 3k^2) - (18 - 12) + (2k^2 - 4k) = 9k - 3k^2 - 6 + 2k^2 - 4k = -k^2 + 5k - 6 = -(k^2 - 5k + 6) = -(k-2)(k-3).
24 puncte
Discuția soluțiilor: Dacă D≠0D \neq 0, adică k∉{2,3}k \notin \{2,3\}, sistemul are soluție unică. Dacă k=2k=2, sistemul devine: {x+y+z=12x+2y+3z=24x+4y+9z=4\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 3z = 2 \\ 4x + 4y + 9z = 4 \end{cases}. Scădem prima ecuație dublată din a doua: (2x+2y+3z)−2(x+y+z)=2−2⇒z=0(2x+2y+3z) - 2(x+y+z) = 2-2 \Rightarrow z=0. Atunci sistemul se reduce la x+y=1x+y=1 și 2x+2y=22x+2y=2, care sunt echivalente, deci sistemul are infinitate de soluții: x=1−y,y∈R,z=0x=1-y, y \in \mathbb{R}, z=0. Dacă k=3k=3, sistemul: {x+y+z=12x+3y+3z=24x+9y+9z=4\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 3y + 3z = 2 \\ 4x + 9y + 9z = 4 \end{cases}. Scădem prima ecuație dublată din a doua: (2x+3y+3z)−2(x+y+z)=2−2⇒y+z=0⇒y=−z(2x+3y+3z) - 2(x+y+z) = 2-2 \Rightarrow y+z=0 \Rightarrow y=-z. Înlocuim în prima ecuație: x+(−z)+z=1⇒x=1x + (-z) + z = 1 \Rightarrow x=1, iar a treia ecuație devine 4+9(−z)+9z=4⇒4=44 + 9(-z) + 9z = 4 \Rightarrow 4=4, adevărat. Deci sistemul are infinitate de soluții: x=1,y=−z,z∈Rx=1, y=-z, z \in \mathbb{R}.
33 puncte
Pentru k=1k=1, D=−(1−2)(1−3)=−(−1)(−2)=−2≠0D = -(1-2)(1-3) = -(-1)(-2) = -2 \neq 0. Aplicăm regula lui Cramer: Dx=∣111213419∣=1⋅(9−3)−1⋅(18−12)+1⋅(2−4)=6−6−2=−2D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 9 \end{vmatrix} = 1\cdot(9-3) - 1\cdot(18-12) + 1\cdot(2-4) = 6 - 6 - 2 = -2, Dy=∣111213449∣=1⋅(9−12)−1⋅(18−12)+1⋅(8−4)=−3−6+4=−5D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 4 & 9 \end{vmatrix} = 1\cdot(9-12) - 1\cdot(18-12) + 1\cdot(8-4) = -3 - 6 + 4 = -5, Dz=∣111211414∣=1⋅(4−1)−1⋅(8−4)+1⋅(2−4)=3−4−2=−3D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 1\cdot(4-1) - 1\cdot(8-4) + 1\cdot(2-4) = 3 - 4 - 2 = -3. Atunci x=DxD=−2−2=1x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{-2} = 1, y=DyD=−5−2=52y = \frac{D_y}{D} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}, z=DzD=−3−2=32z = \frac{D_z}{D} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.