MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare cu parametrul real mm: {(m+2)x+y+z=1x+(m+2)y+z=mx+y+(m+2)z=m2\begin{cases} (m+2)x + y + z = 1 \\ x + (m+2)y + z = m \\ x + y + (m+2)z = m^2 \end{cases}. a) Calculați determinantul Δ\Delta al matricei coeficienților. b) Determinați valorile lui mm pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru m=0m=0, găsiți soluția sistemului folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem matricea coeficienților A=(m+2111m+2111m+2)A = \begin{pmatrix} m+2 & 1 & 1 \\ 1 & m+2 & 1 \\ 1 & 1 & m+2 \end{pmatrix} și calculăm Δ=det⁡(A)\Delta = \det(A). Folosind proprietăți: adunăm toate coloanele la prima, apoi factorizăm: Δ=(m+4)∣1111m+2111m+2∣=(m+4)(m+1)2\Delta = (m+4) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m+2 & 1 \\ 1 & 1 & m+2 \end{vmatrix} = (m+4)(m+1)^2.
23 puncte
Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0, deci pentru m≠−4m \neq -4 și m≠−1m \neq -1.
34 puncte
Pentru m=0m=0, Δ=4⋅12=4\Delta = 4 \cdot 1^2 = 4. Calculăm determinanții pentru necunoscute: Δx=∣111021012∣=3\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 3, Δy=∣211101102∣=−1\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = -1, Δz=∣211120110∣=−1\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -1. Soluția este x=ΔxΔ=34x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{3}{4}, y=ΔyΔ=−14y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = -\frac{1}{4}, z=ΔzΔ=−14z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = -\frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.