MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Fie determinantul D=∣abcbcacab∣D = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}. a) Demonstrați că D=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)D = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2). b) Se consideră ecuația t3−xt2+yt−z=0t^3 - xt^2 + yt - z = 0 cu rădăcinile a,b,ca, b, c. Folosind rezultatul de la a), determinați condiția ca sistemul {ax+by+cz=1bx+cy+az=2cx+ay+bz=3\begin{cases} ax + by + cz = 1 \\ bx + cy + az = 2 \\ cx + ay + bz = 3 \end{cases} să aibă soluție unică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm DD prin transformări liniare: adunăm toate liniile la prima linie, obținând D=(a+b+c)∣111bcacab∣D = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}. Scădem prima coloană din celelalte: D=(a+b+c)∣100bc−ba−bca−cb−c∣=(a+b+c)∣c−ba−ba−cb−c∣=(a+b+c)[(c−b)(b−c)−(a−b)(a−c)]=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)D = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b & c-b & a-b \\ c & a-c & b-c \end{vmatrix} = (a+b+c) \begin{vmatrix} c-b & a-b \\ a-c & b-c \end{vmatrix} = (a+b+c)[(c-b)(b-c) - (a-b)(a-c)] = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2).
23 puncte
Din ecuația t3−xt2+yt−z=0t^3 - xt^2 + yt - z = 0 cu rădăcinile a,b,ca, b, c, relațiile lui Viète sunt: a+b+c=xa+b+c = x, ab+bc+ca=yab+bc+ca = y, abc=zabc = z.
33 puncte
Sistemul dat are matricea coeficienților M=(abcbcacab)M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, cu det⁡(M)=D\det(M) = D. Sistemul are soluție unică dacă det⁡(M)≠0\det(M) \neq 0. Folosind rezultatul de la a) și relațiile lui Viète, a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=x2−2ya^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = x^2 - 2y. Deci D=x(y−(x2−2y))=x(3y−x2)D = x(y - (x^2 - 2y)) = x(3y - x^2). Condiția este x(3y−x2)≠0x(3y - x^2) \neq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.