MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {mx+y+z=1x+my+z=mx+y+mz=m2\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}, unde mm este un parametru real. a) Pentru ce valori ale lui mm sistemul are soluție unică? b) Pentru m=2m=2, rezolvați sistemul folosind metoda determinanților (regula lui Cramer).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrieți matricea coeficienților B=(m111m111m)B = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} și calculați determinantul sistemului Δ=det⁡(B)=∣m111m111m∣\Delta = \det(B) = \begin{vmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{vmatrix}. Folosind proprietăți, obțineți Δ=m3−3m+2=(m−1)2(m+2)\Delta = m^3 - 3m + 2 = (m-1)^2(m+2).
23 puncte
Sistemul are soluție unică dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică (m−1)2(m+2)≠0(m-1)^2(m+2) \neq 0. Deci, m≠1m \neq 1 și m≠−2m \neq -2.
33 puncte
Pentru m=2m=2, calculați determinanții Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z: Δx=∣111221312∣=−1\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -1, Δy=∣211121132∣=2\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 2, Δz=∣211122113∣=1\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1. Atunci, soluția este x=ΔxΔ=−14=−0.25x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-1}{4} = -0.25, y=ΔyΔ=24=0.5y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{2}{4} = 0.5, z=ΔzΔ=14=0.25z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{1}{4} = 0.25, unde Δ=4\Delta = 4 pentru m=2m=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.