MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatrici
Fie matricea A=(1m2m1m2m1)A = \begin{pmatrix} 1 & m & 2 \\ m & 1 & m \\ 2 & m & 1 \end{pmatrix}, unde mm este un număr real. Calculați determinantul matricei AA. Determinați valorile lui mm pentru care matricea AA este inversabilă. Pentru m=0m=0, calculați inversa matricei AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează determinantul lui AA folosind dezvoltarea după prima linie: det⁡(A)=1⋅∣1mm1∣−m⋅∣mm21∣+2⋅∣m12m∣=1(1⋅1−m⋅m)−m(m⋅1−m⋅2)+2(m⋅m−1⋅2)=1−m2−m(m−2m)+2(m2−2)=1−m2−m(−m)+2m2−4=1−m2+m2+2m2−4=2m2−3\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & m \\ m & 1 \end{vmatrix} - m \cdot \begin{vmatrix} m & m \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} m & 1 \\ 2 & m \end{vmatrix} = 1(1 \cdot 1 - m \cdot m) - m(m \cdot 1 - m \cdot 2) + 2(m \cdot m - 1 \cdot 2) = 1 - m^2 - m(m - 2m) + 2(m^2 - 2) = 1 - m^2 - m(-m) + 2m^2 - 4 = 1 - m^2 + m^2 + 2m^2 - 4 = 2m^2 - 3.
22 puncte
Matricea AA este inversabilă dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică 2m2−3≠0⇒m2≠32⇒m≠±322m^2 - 3 \neq 0 \Rightarrow m^2 \neq \frac{3}{2} \Rightarrow m \neq \pm \sqrt{\frac{3}{2}}.
34 puncte
Pentru m=0m=0, matricea devine A=(102010201)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Calculăm det⁡(A)=1⋅1⋅1+0⋅0⋅2+2⋅0⋅0−2⋅1⋅2−0⋅0⋅1−1⋅0⋅0=1−4=−3\det(A) = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \cdot 0 = 1 - 4 = -3. Matricea adjunctă: adj(A)=(10−20−30−201)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} (se calculează complementele algebrice). Inversa este A−1=1det⁡(A)⋅adj(A)=−13(10−20−30−201)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.