MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiIdentități algebriceTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice numere reale x,y,zx, y, z, are loc egalitatea: ∣1xx21yy21zz2∣=(y−z)(z−x)(x−y)\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = (y-z)(z-x)(x-y). Apoi, utilizați această identitate pentru a calcula determinantul ∣1sin⁡αsin⁡2α1sin⁡βsin⁡2β1sin⁡γsin⁡2γ∣\begin{vmatrix} 1 & \sin\alpha & \sin^2\alpha \\ 1 & \sin\beta & \sin^2\beta \\ 1 & \sin\gamma & \sin^2\gamma \end{vmatrix} știind că α,β,γ\alpha, \beta, \gamma sunt unghiurile unui triunghi.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrație: Scădeți prima linie din celelalte: ∣1xx20y−xy2−x20z−xz2−x2∣=1⋅∣y−x(y−x)(y+x)z−x(z−x)(z+x)∣=(y−x)(z−x)∣1y+x1z+x∣=(y−x)(z−x)((z+x)−(y+x))=(y−x)(z−x)(z−y)=(x−y)(y−z)(z−x)\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & y-x & y^2-x^2 \\ 0 & z-x & z^2-x^2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} y-x & (y-x)(y+x) \\ z-x & (z-x)(z+x) \end{vmatrix} = (y-x)(z-x) \begin{vmatrix} 1 & y+x \\ 1 & z+x \end{vmatrix} = (y-x)(z-x)((z+x)-(y+x)) = (y-x)(z-x)(z-y) = (x-y)(y-z)(z-x), echivalent cu (y−z)(z−x)(x−y)(y-z)(z-x)(x-y).
23 puncte
Aplicând identitatea cu x=sin⁡αx=\sin\alpha, y=sin⁡βy=\sin\beta, z=sin⁡γz=\sin\gamma, obțineți det⁡=(sin⁡β−sin⁡γ)(sin⁡γ−sin⁡α)(sin⁡α−sin⁡β)\det = (\sin\beta - \sin\gamma)(\sin\gamma - \sin\alpha)(\sin\alpha - \sin\beta).
33 puncte
Deoarece α,β,γ\alpha, \beta, \gamma sunt unghiurile unui triunghi, α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi. Determinantul este zero dacă sin⁡α=sin⁡β\sin\alpha = \sin\beta sau sin⁡β=sin⁡γ\sin\beta = \sin\gamma sau sin⁡γ=sin⁡α\sin\gamma = \sin\alpha, ceea ce se întâmplă când două unghiuri sunt egale (triunghi isoscel) sau în cazuri particulare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.