MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda determinanților (regula lui Cramer): {x+2y−z=42x−y+3z=13x+y+2z=7\begin{cases} x + 2y - z = 4 \\ 2x - y + 3z = 1 \\ 3x + y + 2z = 7 \end{cases}. Apoi, pentru sistemul {x+2y−z=m2x−y+3z=13x+y+2z=7\begin{cases} x + 2y - z = m \\ 2x - y + 3z = 1 \\ 3x + y + 2z = 7 \end{cases}, cu m∈Rm \in \mathbb{R}, discutați, în funcție de mm, existența și unicitatea soluțiilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați determinantul sistemului D=∣12−12−13312∣=1⋅(−1⋅2−3⋅1)−2⋅(2⋅2−3⋅3)+(−1)⋅(2⋅1−(−1)⋅3)=−5−2⋅(−5)−5=0D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot 3) + (-1) \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) = -5 - 2 \cdot (-5) - 5 = 0.\n
23 puncte
Pentru sistemul fără parametru, calculați Dx=∣42−11−13712∣=10D_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 10, Dy=∣14−1213372∣=−10D_y = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = -10, Dz=∣1242−11317∣=−10D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 7 \end{vmatrix} = -10. Deoarece D=0D=0 și Dx,Dy,Dz≠0D_x, D_y, D_z \neq 0, sistemul este incompatibil (nu are soluție).\n
34 puncte
Pentru sistemul cu parametru mm, calculați Dx(m)=∣m2−11−13712∣=−5m+30D_x(m) = \begin{vmatrix} m & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -5m+30, Dy(m)=∣1m−1213372∣=5m−30D_y(m) = \begin{vmatrix} 1 & m & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 5m-30, Dz(m)=∣12m2−11317∣=5m−30D_z(m) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & m \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 7 \end{vmatrix} = 5m-30. Discutați: dacă m=6m=6, atunci Dx(m)=Dy(m)=Dz(m)=0D_x(m)=D_y(m)=D_z(m)=0, deci sistemul este compatibil dublu nedeterminat (are o infinitate de soluții); dacă m≠6m \neq 6, atunci cel puțin unul dintre Dx(m),Dy(m),Dz(m)D_x(m), D_y(m), D_z(m) este nenul, deci sistemul este incompatibil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.