MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrii reali aa și bb: {ax+y+z=1x+ay+z=bx+y+az=b2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = b \\ x + y + a z = b^2 \end{cases}. Să se discute compatibilitatea sistemului în funcție de aa și bb, folosind determinanți.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se calculează determinantul principal Δ=∣a111a111a∣\Delta = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Folosind regula lui Sarrus, Δ=a3+1+1−a−a−a=a3−3a+2=(a−1)2(a+2)\Delta = a^3 + 1 + 1 - a - a - a = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2).
22 puncte
Dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, atunci sistemul este compatibil determinat (are soluție unică) pentru orice b∈Rb \in \mathbb{R}.
33 puncte
Cazul a=1a=1. Sistemul devine {x+y+z=1x+y+z=bx+y+z=b2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = b \\ x + y + z = b^2 \end{cases}. Pentru compatibilitate, trebuie ca 1=b=b21 = b = b^2. Din b=b2b = b^2 rezultă b(b−1)=0b(b-1)=0, deci b=0b=0 sau b=1b=1. Dar trebuie și 1=b1=b, deci b=1b=1. Atunci când a=1a=1 și b=1b=1, sistemul este compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții). Dacă a=1a=1 și b≠1b \neq 1, sistemul este incompatibil.
43 puncte
Cazul a=−2a=-2. Sistemul devine {−2x+y+z=1x−2y+z=bx+y−2z=b2\begin{cases} -2x + y + z = 1 \\ x - 2y + z = b \\ x + y - 2z = b^2 \end{cases}. Se studiază rangul matricii extinse. Se poate arăta că sistemul este compatibil dacă și numai dacă 1+b+b2=01 + b + b^2 = 0. Ecuația b2+b+1=0b^2 + b + 1 = 0 are discriminantul Δ=1−4=−3<0\Delta = 1 - 4 = -3 < 0, deci nu are soluții reale. Prin urmare, pentru a=−2a=-2, sistemul este incompatibil pentru orice b∈Rb \in \mathbb{R}. Concluzie: Sistemul este compatibil determinat pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2; compatibil nedeterminat pentru a=1a=1 și b=1b=1; incompatibil în celelalte cazuri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.