MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiProgresii GeometriceSisteme de Ecuații Liniare
Fie a,b,ca, b, c trei numere reale nenule care sunt în progresie geometrică cu rația rr. Se consideră matricea A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}. a) Calculați determinantul lui AA în funcție de aa și rr. b) Demonstrați că det⁡(A)=0\det(A) = 0 dacă și numai dacă r=1r = 1 sau a+b+c=0a + b + c = 0. c) Aplicați rezultatul pentru a determina valorile lui aa pentru care sistemul de ecuații liniare A⋅(xyz)=(000)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} are soluții netriviale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimarea lui bb și cc în funcție de aa și rr: b=arb = ar, c=ar2c = ar^2. Calculul determinantului folosind regula lui Sarrus sau dezvoltare după linie: det⁡(A)=a(c⋅b−a⋅a)−b(b⋅b−a⋅c)+c(b⋅a−c⋅c)\det(A) = a(c \cdot b - a \cdot a) - b(b \cdot b - a \cdot c) + c(b \cdot a - c \cdot c). După înlocuiri și simplificări, se obține det⁡(A)=a3(r3−3r+1)\det(A) = a^3(r^3 - 3r + 1).
24 puncte
Pentru det⁡(A)=0\det(A) = 0, avem a3(r3−3r+1)=0a^3(r^3 - 3r + 1) = 0. Deoarece a≠0a \neq 0, rezultă r3−3r+1=0r^3 - 3r + 1 = 0. Se observă că r=1r=1 este rădăcină; împărțind polinomul, se obține (r−1)(r2+r−1)=0(r-1)(r^2 + r - 1) = 0. Condiția a+b+c=a(1+r+r2)=0a + b + c = a(1 + r + r^2) = 0 implică 1+r+r2=01 + r + r^2 = 0, adică r2+r−1=0r^2 + r - 1 = 0. Astfel, det⁡(A)=0\det(A)=0 dacă r=1r=1 (din factorul (r−1)(r-1)) sau a+b+c=0a+b+c=0 (din factorul r2+r−1=0r^2+r-1=0).
33 puncte
Sistemul omogen are soluții netriviale dacă și numai dacă det⁡(A)=0\det(A)=0. Din pasul anterior, aceasta are loc când r=1r=1 sau a+b+c=0a+b+c=0. Pentru r=1r=1, progresia este constantă (a=b=ca=b=c), deci sistemul are soluții netriviale pentru orice aa nenul. Pentru a+b+c=0a+b+c=0, cu r≠1r \neq 1, din a(1+r+r2)=0a(1+r+r^2)=0 și a≠0a \neq 0, rezultă 1+r+r2=01+r+r^2=0, ceea ce impune anumite valori pentru rr, dar aa rămâne liber; sistemul are soluții netriviale indiferent de aa, atâta timp cât a+b+c=0a+b+c=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.