MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {(a+1)x+y+z=1x+(a+1)y+z=ax+y+(a+1)z=a2\begin{cases} (a+1)x + y + z = 1 \\ x + (a+1)y + z = a \\ x + y + (a+1)z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R} este un parametru. Utilizând determinanții, studiați compatibilitatea sistemului și determinați soluțiile în funcție de valorile lui aa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați determinantul principal Δ=∣a+1111a+1111a+1∣\Delta = \begin{vmatrix} a+1 & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \end{vmatrix} folosind proprietăți ale determinanților, obținând Δ=(a+3)(a−1)2\Delta = (a+3)(a-1)^2.
22 puncte
Determinați valorile lui aa pentru care Δ=0\Delta = 0, adică a=−3a = -3 sau a=1a = 1.
33 puncte
Pentru a≠−3a \neq -3 și a≠1a \neq 1, aplicați regula lui Cramer; calculați determinanții Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z și exprimați soluția unică x=ΔxΔ,y=ΔyΔ,z=ΔzΔx = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z = \frac{\Delta_z}{\Delta}.
42 puncte
Pentru a=−3a = -3, verificați incompatibilitatea sistemului prin anularea determinantului principal și a unui determinant secundar cu termeni liberi. Pentru a=1a = 1, arătați că sistemul are infinit de multe soluții, descrise parametric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.