MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(a211a221a)A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 1 & a & 2 \\ 2 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul liniar AX=BAX = B are soluție unică, unde X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} și B=(10−1)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}. Apoi, pentru a=1a=1, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați determinantul matricei AA: det⁡(A)=a∣a21a∣−2∣122a∣+1∣1a21∣=a(a2−2)−2(a−4)+1(1−2a)=a3−6a+9\det(A) = a \begin{vmatrix} a & 2 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & a \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = a(a^2 - 2) - 2(a - 4) + 1(1 - 2a) = a^3 - 6a + 9.
22 puncte
Sistemul are soluție unică dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică a3−6a+9≠0a^3 - 6a + 9 \neq 0. Factorizând, (a−3)(a2+3a−3)≠0(a-3)(a^2+3a-3) \neq 0, deci a≠3a \neq 3 și a≠−3±212a \neq \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}.
35 puncte
Pentru a=1a=1, det⁡(A)=4\det(A)=4. Folosind regula lui Cramer, calculați determinanții matricelor modificate: det⁡(Ax)=∣121012−111∣=−4\det(A_x) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -4, det⁡(Ay)=∣1111022−11∣=2\det(A_y) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2, det⁡(Az)=∣12111021−1∣=−2\det(A_z) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -2. Atunci x=−44=−1x = \frac{-4}{4} = -1, y=24=0.5y = \frac{2}{4} = 0.5, z=−24=−0.5z = \frac{-2}{4} = -0.5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.