MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(a121b323c)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & b & 3 \\ 2 & 3 & c \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Calculați determinantul matricei AA și determinați valorile reale ale lui a,b,ca, b, c pentru care sistemul de ecuații liniare A⋅(xyz)=(000)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} are soluții nenule.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm determinantul lui AA: det⁡(A)=a∣b33c∣−1∣132c∣+2∣1b23∣=a(bc−9)−1(c−6)+2(3−2b)=a(bc−9)−c+6+6−4b=a(bc−9)−c−4b+12\det(A) = a \begin{vmatrix} b & 3 \\ 3 & c \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & c \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 1 & b \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = a(bc - 9) - 1(c - 6) + 2(3 - 2b) = a(bc - 9) - c + 6 + 6 - 4b = a(bc - 9) - c - 4b + 12.
24 puncte
Sistemul omogen are soluții nenule dacă și numai dacă det⁡(A)=0\det(A) = 0. Deci, a(bc−9)−c−4b+12=0a(bc - 9) - c - 4b + 12 = 0. Rearanjăm: a(bc−9)=c+4b−12a(bc - 9) = c + 4b - 12. Dacă bc≠9bc \neq 9, atunci a=c+4b−12bc−9a = \frac{c + 4b - 12}{bc - 9}. Dacă bc=9bc = 9, atunci trebuie c+4b−12=0c + 4b - 12 = 0.
33 puncte
Pentru bc≠9bc \neq 9, valorile lui a,b,ca, b, c satisfac a=c+4b−12bc−9a = \frac{c + 4b - 12}{bc - 9}. Pentru bc=9bc = 9, din c+4b−12=0c + 4b - 12 = 0 și bc=9bc = 9, obținem c=12−4bc = 12 - 4b și b(12−4b)=9⇒4b2−12b+9=0⇒(2b−3)2=0⇒b=32,c=6b(12 - 4b) = 9 \Rightarrow 4b^2 - 12b + 9 = 0 \Rightarrow (2b - 3)^2 = 0 \Rightarrow b = \frac{3}{2}, c = 6, iar aa poate fi orice real. Condiția finală este a(bc−9)−c−4b+12=0a(bc - 9) - c - 4b + 12 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.