MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameGeometrie Analitică
Calculați determinantul Δ=∣111abca2b2c2∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} și demonstrați că Δ=(a−b)(b−c)(c−a)\Delta = (a-b)(b-c)(c-a). Apoi, folosind acest rezultat, rezolvați ecuația ∣111xyzx2y2z2∣=0\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} = 0 și interpretați geometric mulțimea soluțiilor în plan.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm determinantul Vandermonde: Δ=1⋅(bc2−b2c)−1⋅(ac2−a2c)+1⋅(ab2−a2b)=bc2−b2c−ac2+a2c+ab2−a2b\Delta = 1\cdot(b c^2 - b^2 c) - 1\cdot(a c^2 - a^2 c) + 1\cdot(a b^2 - a^2 b) = bc^2 - b^2c - ac^2 + a^2c + ab^2 - a^2b. Rearanjăm termenii: ab2−a2b+bc2−b2c+a2c−ac2=ab(b−a)+bc(c−b)+ac(a−c)ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + a^2c - ac^2 = ab(b-a) + bc(c-b) + ac(a-c). Factorizăm grupând: (a−b)(b−c)(c−a)(a-b)(b-c)(c-a).
23 puncte
Ecuația ∣111xyzx2y2z2∣=0\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} = 0 implică (x−y)(y−z)(z−x)=0(x-y)(y-z)(z-x)=0, deci cel puțin două dintre variabilele x,y,zx, y, z sunt egale. Soluțiile sunt orice tripleți (x,y,z)(x,y,z) cu x=yx=y, y=zy=z, sau z=xz=x.
33 puncte
Geometric, considerând punctele de coordonate (x,x2),(y,y2),(z,z2)(x, x^2), (y, y^2), (z, z^2) pe parabola y=x2y=x^2, determinantul este zero dacă și numai dacă aceste puncte sunt coliniare. Astfel, mulțimea soluțiilor corespunde la tripleți de puncte pe parabola y=x2y=x^2 care sunt coliniare, ceea ce se întâmplă când cel puțin două puncte coincid sau toate trei sunt distincte și coliniare (dar pe o parabolă, trei puncte distincte nu pot fi coliniare decât dacă parabola este degenerată, deci în acest caz, doar coincidența a două puncte).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.