MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Fie matricea A=(a121a323a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & a & 3 \\ 2 & 3 & a \end{pmatrix}, unde aa este un număr real. Calculați determinantul matricei AA și determinați pentru ce valori ale lui aa sistemul de ecuații A⋅(xyz)=(123)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} are soluție unică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm determinantul lui A folosind dezvoltarea după prima linie: det⁡(A)=a∣a33a∣−1∣132a∣+2∣1a23∣=a(a2−9)−1(a−6)+2(3−2a)=a3−9a−a+6+6−4a=a3−14a+12\det(A) = a \begin{vmatrix} a & 3 \\ 3 & a \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & a \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = a(a^2 - 9) - 1(a - 6) + 2(3 - 2a) = a^3 - 9a - a + 6 + 6 - 4a = a^3 - 14a + 12.
23 puncte
Sistemul liniar are soluție unică dacă și numai dacă matricea coeficienților este inversabilă, adică det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0.
33 puncte
Prin urmare, condiția pentru soluție unică este a3−14a+12≠0a^3 - 14a + 12 \neq 0. Se poate analiza ecuația a3−14a+12=0a^3 - 14a + 12 = 0 pentru a găsi valorile critice, dar răspunsul final este că sistemul are soluție unică pentru orice aa real care nu satisface această ecuație.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.