MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciIdentități algebrice
Fie matricea A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Dacă a+b+c=1a + b + c = 1 și a2+b2+c2=2a^2 + b^2 + c^2 = 2, calculați determinantul lui AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm determinantul: det⁡(A)=a(cb−a2)−b(b2−ac)+c(ab−c2)=3abc−(a3+b3+c3)\det(A) = a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = 3abc - (a^3 + b^3 + c^3).\n
23 puncte
Folosim identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca).\n
32 puncte
Din a+b+c=1a+b+c=1 și a2+b2+c2=2a^2+b^2+c^2=2, avem (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca), deci 1=2+2(ab+bc+ca)1 = 2 + 2(ab+bc+ca), de unde ab+bc+ca=−12ab+bc+ca = -\frac{1}{2}.\n
43 puncte
Substituim în identitate: a3+b3+c3−3abc=(1)(2−(−12))=52a^3+b^3+c^3 - 3abc = (1)(2 - (-\frac{1}{2})) = \frac{5}{2}, deci a3+b3+c3=3abc+52a^3+b^3+c^3 = 3abc + \frac{5}{2}. Atunci det⁡(A)=3abc−(3abc+52)=−52\det(A) = 3abc - (3abc + \frac{5}{2}) = -\frac{5}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.