MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie sistemul de ecuații liniare: {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și calculați soluția în acest caz folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți matricea coeficienților A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} și calculați determinantul D=det⁡(A)=∣a111a111a∣=a3−3a+2D = \det(A) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a^3 - 3a + 2. \n
22 puncte
Determinați valorile lui aa pentru care D≠0D \neq 0; rezolvând a3−3a+2=0a^3 - 3a + 2 = 0, se obține a=1a = 1 sau a=−2a = -2, deci D≠0D \neq 0 pentru a∉{1,−2}a \notin \{1, -2\}. \n
32 puncte
Pentru a∉{1,−2}a \notin \{1, -2\}, calculați determinanții auxiliari: Dx=∣111aa1a21a∣=a2−a−a2+1=1−aD_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & a & 1 \\ a^2 & 1 & a \end{vmatrix} = a^2 - a - a^2 + 1 = 1 - a, Dy=∣a111a11a2a∣=a2−a2−a+1=1−aD_y = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & a^2 & a \end{vmatrix} = a^2 - a^2 - a + 1 = 1 - a, Dz=∣a111aa11a2∣=a3−a−a+1=a3−2a+1D_z = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ 1 & 1 & a^2 \end{vmatrix} = a^3 - a - a + 1 = a^3 - 2a + 1. \n
43 puncte
Exprimați soluțiile folosind regula lui Cramer: x=DxD=1−aa3−3a+2x = \frac{D_x}{D} = \frac{1 - a}{a^3 - 3a + 2}, y=DyD=1−aa3−3a+2y = \frac{D_y}{D} = \frac{1 - a}{a^3 - 3a + 2}, z=DzD=a3−2a+1a3−3a+2z = \frac{D_z}{D} = \frac{a^3 - 2a + 1}{a^3 - 3a + 2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.