MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {(a+1)x+y+z=1x+(a+1)y+z=ax+y+(a+1)z=a2\begin{cases} (a+1)x + y + z = 1 \\ x + (a+1)y + z = a \\ x + y + (a+1)z = a^2 \end{cases}, cu a∈Ra \in \mathbb{R}. Folosind determinanții, discutați după valorile lui aa existența și unicitatea soluțiilor sistemului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează determinantul matricei coeficienților: Δ=∣a+1111a+1111a+1∣\Delta = \begin{vmatrix} a+1 & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \end{vmatrix}. Se notează b=a+1b = a+1, atunci Δ=∣b111b111b∣=b3−3b+2=(b−1)2(b+2)=a2(a+3)\Delta = \begin{vmatrix} b & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & b \end{vmatrix} = b^3 - 3b + 2 = (b-1)^2(b+2) = a^2(a+3).
23 puncte
Dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică a≠0a \neq 0 și a≠−3a \neq -3, atunci sistemul are soluție unică conform regulii lui Cramer.
32 puncte
Pentru a=0a=0, sistemul devine {x+y+z=1x+y+z=0x+y+z=0\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}, care este incompatibil deoarece prima ecuație contrazice celelalte.
42 puncte
Pentru a=−3a=-3, sistemul devine {−2x+y+z=1x−2y+z=−3x+y−2z=9\begin{cases} -2x + y + z = 1 \\ x - 2y + z = -3 \\ x + y - 2z = 9 \end{cases}. Se verifică că Δ=0\Delta = 0 și, prin adunarea ecuațiilor, se obține 0=70 = 7, deci sistemul este incompatibil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.