MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie AnaliticăIdentități algebrice
Calculați determinantul matricei Vandermonde V=(111xyzx2y2z2)V = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{pmatrix}, unde x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}, și demonstrați că det⁡(V)=(x−y)(y−z)(z−x)\det(V) = (x-y)(y-z)(z-x). Apoi, folosind acest rezultat, arătați că punctele A(x,x2)A(x, x^2), B(y,y2)B(y, y^2), C(z,z2)C(z, z^2) din planul cartezian sunt coliniare dacă și numai dacă (x−y)(y−z)(z−x)=0(x-y)(y-z)(z-x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrieți determinantul det⁡(V)\det(V) și aplicați operații elementare: scădeți prima linie din a doua și a treia, apoi factorizați, obținând det⁡(V)=∣111x−yy−zz−xx2−y2y2−z2z2−x2∣\det(V) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x-y & y-z & z-x \\ x^2-y^2 & y^2-z^2 & z^2-x^2 \end{vmatrix}.
23 puncte
Factorizați diferențe de pătrate și folosiți proprietăți ale determinanților pentru a simplifica la det⁡(V)=(x−y)(y−z)(z−x)\det(V) = (x-y)(y-z)(z-x).
33 puncte
Explicați că punctele sunt coliniare dacă și numai dacă aria triunghiului format de ele este zero, ceea ce echivalează cu anularea determinantului coordonatelor; concluzionați că aceasta are loc când det⁡(V)=0\det(V) = 0, adică (x−y)(y−z)(z−x)=0(x-y)(y-z)(z-x) = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.