MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Pentru ce valori ale parametrului real mm sistemul {(m+1)x+y+z=1x+(m+1)y+z=mx+y+(m+1)z=m2\begin{cases} (m+1)x + y + z = 1 \\ x + (m+1)y + z = m \\ x + y + (m+1)z = m^2 \end{cases} are soluție unică? Folosiți determinanți.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem matricea coeficienților sistemului: B=(m+1111m+1111m+1)B = \begin{pmatrix} m+1 & 1 & 1 \\ 1 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1 \end{pmatrix}. Sistemul are soluție unică dacă și numai dacă det⁡(B)≠0\det(B) \neq 0.
24 puncte
Calculăm det⁡(B)\det(B): det⁡(B)=(m+1)⋅det⁡(m+111m+1)−1⋅det⁡(111m+1)+1⋅det⁡(1m+111)=(m+1)((m+1)2−1)−1((m+1)−1)+1(1−(m+1))=(m+1)(m2+2m+1−1)−m+(1−m−1)=(m+1)(m2+2m)−m−m=m(m+1)(m+2)−2m=m[(m+1)(m+2)−2]=m(m2+3m+2−2)=m(m2+3m)=m2(m+3)\det(B) = (m+1) \cdot \det \begin{pmatrix} m+1 & 1 \\ 1 & m+1 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m+1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & m+1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = (m+1)((m+1)^2 - 1) - 1((m+1) - 1) + 1(1 - (m+1)) = (m+1)(m^2 + 2m + 1 - 1) - m + (1 - m - 1) = (m+1)(m^2 + 2m) - m - m = m(m+1)(m+2) - 2m = m[(m+1)(m+2) - 2] = m(m^2 + 3m + 2 - 2) = m(m^2 + 3m) = m^2(m+3).
32 puncte
Punem condiția det⁡(B)≠0\det(B) \neq 0, adică m2(m+3)≠0m^2(m+3) \neq 0. Aceasta este adevărată pentru m≠0m \neq 0 și m≠−3m \neq -3. Deci, sistemul are soluție unică pentru m∈R∖{0,−3}m \in \mathbb{R} \setminus \{0, -3\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.