MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {(m+1)x+y+z=m+2x+(m+1)y+z=mx+y+(m+1)z=1\begin{cases} (m+1)x + y + z = m+2 \\ x + (m+1)y + z = m \\ x + y + (m+1)z = 1 \end{cases}, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui mm pentru care sistemul are soluție unică. Pentru m=1m=1, rezolvați sistemul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Matricea coeficienților este B=(m+1111m+1111m+1)B = \begin{pmatrix} m+1 & 1 & 1 \\ 1 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1 \end{pmatrix}. Calculăm det⁡(B)=(m+1)[(m+1)2−1]−1[1⋅(m+1)−1⋅1]+1[1⋅1−1⋅(m+1)]=m2(m+3)\det(B) = (m+1)[(m+1)^2 - 1] - 1[1\cdot(m+1) - 1\cdot1] + 1[1\cdot1 - 1\cdot(m+1)] = m^2(m+3).\n
22 puncte
Sistemul are soluție unică dacă det⁡(B)≠0\det(B) \neq 0, adică m2(m+3)≠0m^2(m+3) \neq 0, deci m≠0m \neq 0 și m≠−3m \neq -3.\n
35 puncte
Pentru m=1m=1, sistemul devine {2x+y+z=3x+2y+z=1x+y+2z=1\begin{cases} 2x + y + z = 3 \\ x + 2y + z = 1 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases}. Folosind metoda lui Cramer: Δ=det⁡(B)m=1=12(1+3)=4\Delta = \det(B)_{m=1} = 1^2(1+3)=4, Δx=∣311121112∣=3(4−1)−1(2−1)+1(1−2)=9−1−1=7\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 3(4-1) - 1(2-1) + 1(1-2) = 9 - 1 -1 =7, deci x=74x = \frac{7}{4}. Similar, Δy=∣231111112∣=2(2−1)−3(2−1)+1(1−1)=2−3+0=−1\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(2-1) - 3(2-1) + 1(1-1) = 2 - 3 +0 = -1, deci y=−14=−14y = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}. Δz=∣213121111∣=2(2−1)−1(1−1)+3(1−2)=2−0−3=−1\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2-1) - 1(1-1) + 3(1-2) = 2 - 0 -3 = -1, deci z=−14=−14z = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}. Soluția este x=74,y=−14,z=−14x=\frac{7}{4}, y=-\frac{1}{4}, z=-\frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.