MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeMatrici
Calculați determinantul matricei A=(a121a323a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & a & 3 \\ 2 & 3 & a \end{pmatrix} și determinați valorile reale ale lui aa pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați det⁡(A)\det(A) folosind dezvoltarea după prima linie: det⁡(A)=a⋅∣a33a∣−1⋅∣132a∣+2⋅∣1a23∣=a(a2−9)−1(a−6)+2(3−2a)=a3−9a−a+6+6−4a=a3−14a+12\det(A) = a \cdot \begin{vmatrix} a & 3 \\ 3 & a \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & a \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = a(a^2 - 9) - 1(a - 6) + 2(3 - 2a) = a^3 - 9a - a + 6 + 6 - 4a = a^3 - 14a + 12.
24 puncte
Rezolvați ecuația a3−14a+12=0a^3 - 14a + 12 = 0. Factorizați: a3−14a+12=(a−2)(a2+2a−6)=0a^3 - 14a + 12 = (a-2)(a^2 + 2a - 6) = 0, deci a=2a=2 sau a2+2a−6=0a^2 + 2a - 6 = 0.
32 puncte
Din a2+2a−6=0a^2 + 2a - 6 = 0, obțineți a=−1±7a = -1 \pm \sqrt{7}. Concluzie: Valorile reale ale lui aa sunt a=2a=2, a=−1+7a=-1+\sqrt{7} și a=−1−7a=-1-\sqrt{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.