MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale. Calculați determinantul matricei AA și determinați condițiile în care AA este inversabilă. Apoi, pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, rezolvați sistemul A⋅(xyz)=(666)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm determinantul: det⁡(A)=a∣caab∣−b∣bacb∣+c∣bcca∣=a(cb−a2)−b(b2−ac)+c(ba−c2)=3abc−(a3+b3+c3)\det(A) = a \begin{vmatrix} c & a \\ a & b \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} b & a \\ c & b \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} b & c \\ c & a \end{vmatrix} = a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ba - c^2) = 3abc - (a^3 + b^3 + c^3).
22 puncte
Matricea AA este inversabilă dacă și numai dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică 3abc≠a3+b3+c33abc \neq a^3 + b^3 + c^3.
33 puncte
Pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, avem det⁡(A)=3⋅1⋅2⋅3−(13+23+33)=18−36=−18≠0\det(A) = 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 - (1^3 + 2^3 + 3^3) = 18 - 36 = -18 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Folosim regula lui Cramer: x=det⁡(Ax)det⁡(A)x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, unde AxA_x se obține înlocuind prima coloană a lui AA cu vectorul termenilor liberi. Calculăm det⁡(Ax)=∣623631612∣=6∣3112∣−2∣6162∣+3∣6361∣=6(6−1)−2(12−6)+3(6−18)=30−12−36=−18\det(A_x) = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & 1 \\ 6 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = 6(6-1) - 2(12-6) + 3(6-18) = 30 - 12 - 36 = -18. Similar, det⁡(Ay)=−18\det(A_y) = -18 și det⁡(Az)=−18\det(A_z) = -18 (datorită simetriei).
42 puncte
Obținem x=−18−18=1x = \frac{-18}{-18} = 1, y=1y = 1, z=1z = 1. Verificare: A⋅(1,1,1)T=(6,6,6)TA \cdot (1,1,1)^T = (6,6,6)^T.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.