MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciGeometrie Analitică
Demonstrați că determinantul matricei A=(1aa21bb21cc2)A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix} este egal cu (b−a)(c−a)(c−b)(b-a)(c-a)(c-b). Apoi, folosind acest rezultat, arătați că punctele (a,a2)(a, a^2), (b,b2)(b, b^2), și (c,c2)(c, c^2) sunt coliniare dacă și numai dacă aa, bb, cc nu sunt toate distincte (adică cel puțin două dintre ele sunt egale).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul matricei AA: det⁡(A)=∣1aa21bb21cc2∣\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}. Scădeți prima linie din a doua și a treia: det⁡(A)=∣1aa20b−ab2−a20c−ac2−a2∣\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2-a^2 \\ 0 & c-a & c^2-a^2 \end{vmatrix}. Dezvoltați după prima coloană: det⁡(A)=1⋅∣b−ab2−a2c−ac2−a2∣=(b−a)(c2−a2)−(c−a)(b2−a2)=(b−a)(c−a)(c+a)−(c−a)(b−a)(b+a)=(b−a)(c−a)[(c+a)−(b+a)]=(b−a)(c−a)(c−b)\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} b-a & b^2-a^2 \\ c-a & c^2-a^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c^2-a^2) - (c-a)(b^2-a^2) = (b-a)(c-a)(c+a) - (c-a)(b-a)(b+a) = (b-a)(c-a)[(c+a) - (b+a)] = (b-a)(c-a)(c-b). \n
23 puncte
Punctele sunt coliniare dacă și numai dacă aria triunghiului format de ele este zero, ceea ce este echivalent cu det⁡(A)=0\det(A) = 0, deoarece determinantul matricei coordonatelor dă dublul ariei (cu semn). \n
33 puncte
Din det⁡(A)=(b−a)(c−a)(c−b)=0\det(A) = (b-a)(c-a)(c-b) = 0, rezultă că b−a=0b-a=0 sau c−a=0c-a=0 sau c−b=0c-b=0, adică a=ba=b sau a=ca=c sau b=cb=c. Aceasta înseamnă că cel puțin două dintre numerele aa, bb, cc sunt egale, deci punctele nu sunt toate distincte; în orice astfel de caz, punctele sunt coliniare (chiar dacă coincid sau sunt distincte pe o dreaptă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.