MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
Se consideră determinantul D=∣sin⁡αsin⁡βsin⁡γcos⁡αcos⁡βcos⁡γ111∣D = \begin{vmatrix} \sin \alpha & \sin \beta & \sin \gamma \\ \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}, unde α,β,γ\alpha, \beta, \gamma sunt numere reale. a) Calculați DD și simplificați-l folosind identități trigonometrice. b) Demonstrați că dacă α,β,γ\alpha, \beta, \gamma sunt unghiurile unui triunghi, atunci D=0D=0. c) Deduceți din D=0D=0 o relație trigonometrică între sin⁡α,sin⁡β,sin⁡γ\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma și cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se dezvoltă determinantul după ultima linie: D=sin⁡α(cos⁡β−cos⁡γ)+sin⁡β(cos⁡γ−cos⁡α)+sin⁡γ(cos⁡α−cos⁡β)D = \sin \alpha (\cos \beta - \cos \gamma) + \sin \beta (\cos \gamma - \cos \alpha) + \sin \gamma (\cos \alpha - \cos \beta). Folosind identitatea cos⁡u−cos⁡v=−2sin⁡u+v2sin⁡u−v2\cos u - \cos v = -2 \sin \frac{u+v}{2} \sin \frac{u-v}{2}, se obține D=−2[sin⁡αsin⁡β+γ2sin⁡β−γ2+sin⁡βsin⁡γ+α2sin⁡γ−α2+sin⁡γsin⁡α+β2sin⁡α−β2]D = -2 [\sin \alpha \sin \frac{\beta+\gamma}{2} \sin \frac{\beta-\gamma}{2} + \sin \beta \sin \frac{\gamma+\alpha}{2} \sin \frac{\gamma-\alpha}{2} + \sin \gamma \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}], care se simplifică la 2sin⁡α−β2sin⁡β−γ2sin⁡γ−α22 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \sin \frac{\beta-\gamma}{2} \sin \frac{\gamma-\alpha}{2}.
23 puncte
Dacă α,β,γ\alpha, \beta, \gamma sunt unghiurile unui triunghi, atunci α+β+γ=π\alpha+\beta+\gamma=\pi. Se arată că în acest caz, sin⁡α−β2sin⁡β−γ2sin⁡γ−α2=0\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \sin \frac{\beta-\gamma}{2} \sin \frac{\gamma-\alpha}{2} = 0, deoarece suma unghiurilor implică că unul dintre factori este zero sau se folosește transformarea în sume de sinusuri.
33 puncte
Din D=0D=0, se obține sin⁡α(cos⁡β−cos⁡γ)+sin⁡β(cos⁡γ−cos⁡α)+sin⁡γ(cos⁡α−cos⁡β)=0\sin \alpha (\cos \beta - \cos \gamma) + \sin \beta (\cos \gamma - \cos \alpha) + \sin \gamma (\cos \alpha - \cos \beta) = 0, care poate fi rescrisă ca sin⁡(α−β)+sin⁡(β−γ)+sin⁡(γ−α)=0\sin(\alpha-\beta) + \sin(\beta-\gamma) + \sin(\gamma-\alpha) = 0 folosind identități trigonometrice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.