MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {2x+y−z=1x−y+2z=23x+2y+kz=3\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 2 \\ 3x + 2y + kz = 3 \end{cases}, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul este compatibil determinat. b) Pentru k=1k=1, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer. c) Interpretați geometric soluția sistemului pentru k=1k=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Calculăm determinantul matricei coeficienților: Δ=∣21−11−1232k∣=2∣−122k∣−1∣123k∣+(−1)∣1−132∣=2((−1)k−2⋅2)−1(1⋅k−2⋅3)−1(1⋅2−(−1)⋅3)=2(−k−4)−(k−6)−(2+3)=−2k−8−k+6−5=−3k−7\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & k \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & k \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2((-1)k - 2 \cdot 2) - 1(1 \cdot k - 2 \cdot 3) - 1(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) = 2(-k - 4) - (k - 6) - (2 + 3) = -2k - 8 - k + 6 - 5 = -3k - 7. Sistemul este compatibil determinat dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică k≠−73k \neq -\frac{7}{3}.
22 puncte
Pentru k=1k=1, Δ=−3(1)−7=−10≠0\Delta = -3(1) - 7 = -10 \neq 0, deci sistemul este compatibil determinat.
33 puncte
Aplicăm regula lui Cramer. Calculăm Δx=∣11−12−12321∣\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}, Δy=∣21−1122331∣\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}, Δz=∣2111−12323∣\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix}. După calcul, obținem Δx=−5\Delta_x = -5, Δy=10\Delta_y = 10, Δz=5\Delta_z = 5.
41 punct
Soluția este x=ΔxΔ=−5−10=0.5x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-5}{-10} = 0.5, y=ΔyΔ=10−10=−1y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{10}{-10} = -1, z=ΔzΔ=5−10=−0.5z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{5}{-10} = -0.5.
51 punct
Interpretarea geometrică: Sistemul reprezintă trei plane în spațiu. Pentru k=1k=1, soluția (0.5,−1,−0.5)(0.5, -1, -0.5) este punctul de intersecție al celor trei plane, deci planele sunt concurente.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.