MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Calculați determinantul lui AA și determinați pentru ce valori ale lui a,b,ca, b, c matricea este inversabilă. Apoi, rezolvați sistemul A⋅(xyz)=(10−1)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} pentru cazul în care a+b+c=0a+b+c=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm determinantul: det⁡(A)=a(bc−a2)−b(b2−ac)+c(ab−c2)=abc−a3−b3+abc+abc−c3=3abc−(a3+b3+c3)\det(A) = a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 3abc - (a^3 + b^3 + c^3). Folosind identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca), obținem det⁡(A)=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)\det(A) = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca).
22 puncte
Matricea este inversabilă dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică dacă a+b+c≠0a+b+c \neq 0 și a2+b2+c2−ab−bc−ca≠0a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca \neq 0.
33 puncte
Pentru a+b+c=0a+b+c=0, det⁡(A)=0\det(A)=0, deci sistemul este compatibil nedeterminat. Scriem sistemul: {ax+by+cz=1bx+cy+az=0cx+ay+bz=−1\begin{cases} ax + by + cz = 1 \\ bx + cy + az = 0 \\ cx + ay + bz = -1 \end{cases}. Adunăm ecuațiile: (a+b+c)x+(a+b+c)y+(a+b+c)z=0(a+b+c)x + (a+b+c)y + (a+b+c)z = 0, deci 0=00=0. Scădem prima ecuație din a treia: (c−a)x+(a−b)y+(b−c)z=−2(c-a)x + (a-b)y + (b-c)z = -2. Folosim metoda eliminării pentru a exprima soluția în funcție de un parametru.
42 puncte
Soluția generală este de forma x=1−by−czax = \frac{1 - by - cz}{a} (dacă a≠0a \neq 0), cu yy și zz legate prin ecuațiile sistemului. Verificăm consistența și discutăm cazurile particulare (e.g., a=0a=0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.