MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameIdentități algebrice
Fie polinomul P(X)=∣1111abcXa2b2c2X2a3b3c3X3∣P(X) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & X \\ a^2 & b^2 & c^2 & X^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & X^3 \end{vmatrix}, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale distincte. Arătați că P(X)P(X) este un polinom de gradul 3 în X și determinați rădăcinile sale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Determinantul este de tip Vandermonde. Folosind formula, P(X)=∏1≤i<j≤4(xj−xi)P(X) = \prod_{1 \leq i < j \leq 4} (x_j - x_i), unde x1=a,x2=b,x3=c,x4=Xx_1 = a, x_2 = b, x_3 = c, x_4 = X. Astfel, P(X)=(b−a)(c−a)(c−b)(X−a)(X−b)(X−c)P(X) = (b-a)(c-a)(c-b)(X-a)(X-b)(X-c).
23 puncte
Factorul (b−a)(c−a)(c−b)(b-a)(c-a)(c-b) este constant nenul deoarece a,b,ca, b, c sunt distincte. Produsul (X−a)(X−b)(X−c)(X-a)(X-b)(X-c) este un polinom de gradul 3 în X, deci P(X)P(X) este un polinom de gradul 3.
33 puncte
Rădăcinile polinomului P(X)P(X) sunt soluțiile ecuației P(X)=0P(X)=0, adică X=aX=a, X=bX=b, sau X=cX=c, deoarece factorul constant este nenul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.