MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrul real mm: {x+2y+z=42x−y+3z=13x+y+mz=5\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x - y + 3z = 1 \\ 3x + y + mz = 5 \end{cases}. a) Determinați valorile lui mm pentru care sistemul are soluție unică. b) Pentru mm astfel încât sistemul are soluție unică, rezolvați-l folosind regula lui Cramer. c) Discutați natura soluțiilor când determinantul principal este zero.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați determinantul principal Δ=∣1212−1331m∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & m \end{vmatrix} și obțineți Δ=−5m+15\Delta = -5m + 15.
24 puncte
Analizați condiția Δ≠0\Delta \neq 0: Δ=0\Delta = 0 dă m=3m = 3. Pentru m≠3m \neq 3, sistemul are soluție unică. Pentru m=3m = 3, calculați determinanții Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z pentru a verifica compatibilitatea; sistemul devine incompatibil.
33 puncte
Pentru m≠3m \neq 3, calculați Δx=∣4211−1351m∣\Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 5 & 1 & m \end{vmatrix}, Δy=∣14121335m∣\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & m \end{vmatrix}, Δz=∣1242−11315∣\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \end{vmatrix} și determinați soluția unică x=ΔxΔx = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y=ΔyΔy = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z=ΔzΔz = \frac{\Delta_z}{\Delta}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.