MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiVectoriPolinoame
Se consideră vectorii v1⃗=(1,a,a2)\vec{v_1} = (1, a, a^2), v2⃗=(1,b,b2)\vec{v_2} = (1, b, b^2), v3⃗=(1,c,c2)\vec{v_3} = (1, c, c^2) din R3\mathbb{R}^3, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale. a) Calculați determinantul matricei V=(1aa21bb21cc2)V = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix} și arătați că det⁡(V)=(b−a)(c−a)(c−b)\det(V) = (b-a)(c-a)(c-b). b) Demonstrați că vectorii v1⃗,v2⃗,v3⃗\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} sunt liniar independenți dacă și numai dacă a,b,ca, b, c sunt distincte. c) Dacă a,b,ca, b, c sunt rădăcinile polinomului P(x)=x3−px2+qx−rP(x) = x^3 - px^2 + qx - r, exprimați det⁡(V)\det(V) în funcție de p,q,rp, q, r.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul determinantului lui Vandermonde: scădem prima linie din celelalte: det⁡(V)=∣1aa20b−ab2−a20c−ac2−a2∣\det(V) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2-a^2 \\ 0 & c-a & c^2-a^2 \end{vmatrix}. Dezvoltăm după prima coloană: det⁡(V)=1⋅∣b−ab2−a2c−ac2−a2∣=(b−a)(c2−a2)−(c−a)(b2−a2)\det(V) = 1 \cdot \begin{vmatrix} b-a & b^2-a^2 \\ c-a & c^2-a^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c^2-a^2) - (c-a)(b^2-a^2). Factorizăm: =(b−a)(c−a)(c+a)−(c−a)(b−a)(b+a)=(b−a)(c−a)[(c+a)−(b+a)]=(b−a)(c−a)(c−b)= (b-a)(c-a)(c+a) - (c-a)(b-a)(b+a) = (b-a)(c-a)[(c+a) - (b+a)] = (b-a)(c-a)(c-b).
23 puncte
Vectorii sunt liniar independenți dacă și numai dacă determinantul matricei coordonatelor este nenul. Din pasul 1, det⁡(V)=(b−a)(c−a)(c−b)\det(V) = (b-a)(c-a)(c-b). Acest produs este zero dacă și numai dacă cel puțin doi dintre a,b,ca, b, c sunt egali, deci det⁡(V)≠0\det(V) \neq 0 dacă și numai dacă a,b,ca, b, c sunt distincte.
33 puncte
Folosind relațiile Viète pentru rădăcinile polinomului, avem p=a+b+cp = a+b+c, q=ab+bc+caq = ab+bc+ca, r=abcr = abc. Se exprimă det⁡(V)2=(b−a)2(c−a)2(c−b)2\det(V)^2 = (b-a)^2(c-a)^2(c-b)^2. Prin calcule algebrice, folosind identități simetrice, se obține det⁡(V)2=p2q2−4p3r−4q3+18pqr−27r2\det(V)^2 = p^2q^2 - 4p^3r - 4q^3 + 18pqr - 27r^2. Astfel, det⁡(V)=p2q2−4p3r−4q3+18pqr−27r2\det(V) = \sqrt{p^2q^2 - 4p^3r - 4q^3 + 18pqr - 27r^2}, considerând că a,b,ca, b, c sunt reale și distincte pentru a evita valorile complexe.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.