MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Calculați determinantul matricei A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix} și determinați pentru ce valori ale lui a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} avem det⁡(A)=0\det(A) = 0. Apoi, rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind regula lui Cramer: {2x−y+z=1x+3y−2z=4−x+2y+3z=2\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ x + 3y - 2z = 4 \\ -x + 2y + 3z = 2 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm det⁡(A)=a∣caab∣−b∣bacb∣+c∣bcca∣=a(cb−a2)−b(b2−ac)+c(ab−c2)=a3+b3+c3−3abc\det(A) = a \begin{vmatrix} c & a \\ a & b \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} b & a \\ c & b \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} b & c \\ c & a \end{vmatrix} = a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc.
22 puncte
det⁡(A)=0⇒a3+b3+c3=3abc\det(A)=0 \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Factorizând, obținem (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=0(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0, deci condițiile sunt a+b+c=0a+b+c=0 sau a=b=ca=b=c.
34 puncte
Pentru sistem, calculăm determinantul principal Δ=∣2−1113−2−123∣=2(9+4)−(−1)(3+2)+1(2+3)=26+5+5=36\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2(9+4) - (-1)(3+2) + 1(2+3) = 26 + 5 + 5 = 36. Apoi, Δx=∣1−1143−2223∣=1(9+4)−(−1)(12+4)+1(8−6)=13+16+2=31\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & -2 \\ 2 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(9+4) - (-1)(12+4) + 1(8-6) = 13 + 16 + 2 = 31, Δy=∣21114−2−123∣=2(12+4)−1(3+2)+1(2+4)=32−5+6=33\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2(12+4) - 1(3+2) + 1(2+4) = 32 - 5 + 6 = 33, Δz=∣2−11134−122∣=2(6−8)−(−1)(2+4)+1(2+3)=−4+6+5=7\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 2(6-8) - (-1)(2+4) + 1(2+3) = -4 + 6 + 5 = 7. Soluțiile sunt x=Δx/Δ=31/36x = \Delta_x / \Delta = 31/36, y=Δy/Δ=33/36=11/12y = \Delta_y / \Delta = 33/36 = 11/12, z=Δz/Δ=7/36z = \Delta_z / \Delta = 7/36.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.