MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiIdentități algebriceSisteme de Ecuații Neliniare
Demonstrați că determinantul Vandermonde Δ=det⁡(1xx21yy21zz2)\Delta = \det \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix} este egal cu (x−y)(y−z)(z−x)(x-y)(y-z)(z-x). Apoi, folosind acest rezultat, determinați soluțiile reale ale sistemului: {x+y+z=0xy+yz+zx=−3xyz=2\begin{cases} x+y+z=0 \\ xy+yz+zx=-3 \\ xyz=2 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Demonstrați identitatea: Scădeți prima linie din celelalte pentru a obține Δ=det⁡(1xx20y−xy2−x20z−xz2−x2)=(y−x)(z2−x2)−(z−x)(y2−x2)=(y−x)(z−x)(z+x−y−x)=(x−y)(y−z)(z−x)\Delta = \det \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & y-x & y^2-x^2 \\ 0 & z-x & z^2-x^2 \end{pmatrix} = (y-x)(z^2-x^2) - (z-x)(y^2-x^2) = (y-x)(z-x)(z+x - y - x) = (x-y)(y-z)(z-x).
23 puncte
Observați că sistemul definește x,y,zx, y, z ca rădăcini ale ecuației t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz=0t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz=0, deci t3−3t−2=0t^3 - 3t - 2=0.
32 puncte
Rezolvați ecuația t3−3t−2=0t^3 - 3t - 2=0; factorizați: (t−2)(t2+2t+1)=0(t-2)(t^2+2t+1)=0, deci rădăcinile sunt 2,−1,−12, -1, -1. Soluțiile sistemului sunt permutările lui (2,−1,−1)(2, -1, -1), iar determinantul Vandermonde este zero dacă două rădăcini sunt egale, confirmând identitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.