MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameIdentități algebrice
Fie x,y,zx, y, z numere reale distincte. Demonstrați că determinantul ∣111xyzx2y2z2∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} este egal cu (x−y)(y−z)(z−x)(x-y)(y-z)(z-x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicați operații elementare pe coloane pentru a simplifica determinantul. Scădeți prima coloană din a doua și a treia: ∣111xyzx2y2z2∣=∣100xy−xz−xx2y2−x2z2−x2∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & y-x & z-x \\ x^2 & y^2 - x^2 & z^2 - x^2 \end{vmatrix}. Dezvoltați după prima linie: =1⋅∣y−xz−xy2−x2z2−x2∣=(y−x)(z2−x2)−(z−x)(y2−x2)= 1 \cdot \begin{vmatrix} y-x & z-x \\ y^2 - x^2 & z^2 - x^2 \end{vmatrix} = (y-x)(z^2 - x^2) - (z-x)(y^2 - x^2). \n
23 puncte
Factorizați expresiile: (y−x)(z−x)(z+x)−(z−x)(y−x)(y+x)=(y−x)(z−x)[(z+x)−(y+x)]=(y−x)(z−x)(z−y)(y-x)(z-x)(z+x) - (z-x)(y-x)(y+x) = (y-x)(z-x)[(z+x) - (y+x)] = (y-x)(z-x)(z-y). \n
33 puncte
Observați că (y−x)=−(x−y)(y-x) = -(x-y), (z−y)=−(y−z)(z-y) = -(y-z), și (z−x)=−(x−z)(z-x) = -(x-z), astfel produsul devine (−1)3(x−y)(y−z)(z−x)=−(x−y)(y−z)(z−x)(-1)^3 (x-y)(y-z)(z-x) = -(x-y)(y-z)(z-x). Corectați semnul folosind proprietăți de simetrie: determinantul original este un polinom antisimetric, deci este egal cu (x−y)(y−z)(z−x)(x-y)(y-z)(z-x) pentru numere reale distincte, confirmând identitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.