MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Folosind proprietățile determinanților, demonstrează că dacă x,y,zx, y, z sunt numere reale care verifică ecuația x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1, atunci determinantul D=∣xyzyzxzxy∣D = \begin{vmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{vmatrix} este nul dacă și numai dacă x+y+z=0x+y+z=0 sau x=y=zx=y=z.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul determinantului DD: D=x(z⋅y−x⋅x)−y(y⋅y−x⋅z)+z(y⋅x−z⋅z)=x(yz−x2)−y(y2−xz)+z(xy−z2)=xyz−x3−y3+xyz+xyz−z3=3xyz−(x3+y3+z3)D = x(z \cdot y - x \cdot x) - y(y \cdot y - x \cdot z) + z(y \cdot x - z \cdot z) = x(yz - x^2) - y(y^2 - xz) + z(xy - z^2) = xyz - x^3 - y^3 + xyz + xyz - z^3 = 3xyz - (x^3 + y^3 + z^3).
23 puncte
Folosind identitatea algebrică x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx), se exprimă D=−(x3+y3+z3−3xyz)=−(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)D = -(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) = -(x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx).
33 puncte
Din ipoteză, x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1. Deci D=0D=0 dacă și numai dacă (x+y+z)(1−xy−yz−zx)=0(x+y+z)(1 - xy - yz - zx)=0. Observăm că 1−xy−yz−zx=12[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]1 - xy - yz - zx = \frac{1}{2}[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2], care este zero dacă și numai dacă x=y=zx=y=z. Astfel, D=0D=0 dacă și numai dacă x+y+z=0x+y+z=0 sau x=y=zx=y=z.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.