MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameProgresii Geometrice
Demonstrați că pentru orice numere reale x,y,zx, y, z, determinantul Δ=∣1xx21yy21zz2∣=(y−x)(z−x)(z−y)\Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} = (y-x)(z-x)(z-y). Utilizați această identitate pentru a afla valorile lui mm pentru care polinomul P(t)=t3−mt2+5t−2P(t) = t^3 - mt^2 + 5t - 2 are rădăcini în progresie geometrică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Pentru demonstrație, scădem prima linie din a doua și a treia: Δ=∣1xx20y−xy2−x20z−xz2−x2∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & y-x & y^2-x^2 \\ 0 & z-x & z^2-x^2 \end{vmatrix}. Dezvoltăm după prima coloană: Δ=1⋅∣y−xy2−x2z−xz2−x2∣\Delta = 1 \cdot \begin{vmatrix} y-x & y^2-x^2 \\ z-x & z^2-x^2 \end{vmatrix}. Factorizăm diferențele de pătrate: Δ=(y−x)(z−x)∣1y+x1z+x∣=(y−x)(z−x)[(z+x)−(y+x)]=(y−x)(z−x)(z−y)\Delta = (y-x)(z-x) \begin{vmatrix} 1 & y+x \\ 1 & z+x \end{vmatrix} = (y-x)(z-x)[(z+x) - (y+x)] = (y-x)(z-x)(z-y).
22 puncte
Fie rădăcinile polinomului P(t)P(t) în progresie geometrică: a,ar,ar2a, ar, ar^2, cu a,r∈Ra, r \in \mathbb{R}, r≠0r \neq 0. Atunci, din relațiile lui Viète, avem a+ar+ar2=ma + ar + ar^2 = m, a2r+a2r2+a2r3=5a^2r + a^2r^2 + a^2r^3 = 5, și a3r3=2a^3r^3 = 2.
33 puncte
Din a3r3=2a^3r^3 = 2, obținem ar=23ar = \sqrt[3]{2}. Notăm t=23t = \sqrt[3]{2}. Atunci a=t/ra = t/r. Înlocuim în suma a+ar+ar2=ma + ar + ar^2 = m: t/r+t+tr=mt/r + t + tr = m. Și din a2r+a2r2+a2r3=5a^2r + a^2r^2 + a^2r^3 = 5, avem a2r(1+r+r2)=5a^2r(1+r+r^2) = 5, dar a2r=(ar)2/r=t2/ra^2r = (ar)^2/r = t^2/r. Deci t2(1+r+r2)/r=5t^2(1+r+r^2)/r = 5. Cu t=23t = \sqrt[3]{2}, rezolvăm ecuația 22/3(1+r+r2)/r=52^{2/3}(1+r+r^2)/r = 5 pentru rr, apoi calculăm mm din t/r+t+tr=mt/r + t + tr = m. Se obțin valorile lui mm care satisfac condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.