MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareIdentități algebrice
Fie matricea A=(abcbcacab)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Arătați că det⁡(A)=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)\det(A) = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca). Apoi, folosind acest rezultat, rezolvați sistemul {ax+by+cz=1bx+cy+az=2cx+ay+bz=3\begin{cases} ax + by + cz = 1 \\ bx + cy + az = 2 \\ cx + ay + bz = 3 \end{cases} în funcție de a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați det⁡(A)\det(A) adăugând toate liniile la prima linie pentru a obține factorul (a+b+c)(a+b+c) și apoi simplificați matricea;
23 puncte
Folosiți identitatea algebrică pentru a arăta că determinantul rămas este a2+b2+c2−ab−bc−caa^2+b^2+c^2-ab-bc-ca, obținând det⁡(A)=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)\det(A) = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca);
33 puncte
Aplicați regula lui Cramer: dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, sistemul are soluție unică x=det⁡(Ax)det⁡(A)x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, y=det⁡(Ay)det⁡(A)y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}, z=det⁡(Az)det⁡(A)z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)}, unde Ax,Ay,AzA_x, A_y, A_z sunt matricele obținute prin înlocuirea coloanelor; discutați că dacă det⁡(A)=0\det(A)=0, sistemul poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat în funcție de a,b,ca, b, c.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.