MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {2x−y+3z=1x+ay−z=23x+y+2z=a\begin{cases} 2x - y + 3z = 1 \\ x + ay - z = 2 \\ 3x + y + 2z = a \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Determinați aa pentru care sistemul este compatibil determinat. b) Pentru a=1a=1, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se scrie matricea sistemului A=(2−131a−1312)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & a & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} și se calculează det⁡(A)=2⋅(2a+1)−(−1)⋅(2+3)+3⋅(1−3a)=4a+2+5+3−9a=−5a+10\det(A) = 2 \cdot (2a + 1) - (-1) \cdot (2 + 3) + 3 \cdot (1 - 3a) = 4a + 2 + 5 + 3 - 9a = -5a + 10.
23 puncte
Sistemul este compatibil determinat dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică −5a+10≠0⇒a≠2-5a + 10 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2.
32 puncte
Pentru a=1a=1, det⁡(A)=−5⋅1+10=5≠0\det(A) = -5 \cdot 1 + 10 = 5 \neq 0, deci sistemul este compatibil determinat.
42 puncte
Se aplică regula lui Cramer: Δ=det⁡(A)=5\Delta = \det(A) = 5, Δx=∣1−1321−1112∣=10\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 10, Δy=∣21312−1312∣=−5\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -5, Δz=∣2−11112311∣=5\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5. Soluțiile sunt x=ΔxΔ=2x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = 2, y=ΔyΔ=−1y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = -1, z=ΔzΔ=1z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.