MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(a121a323a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & a & 3 \\ 2 & 3 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Calculați det⁡(A)\det(A). b) Determinați valorile lui aa pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0. c) Pentru fiecare valoare a lui aa găsită, discutați natura sistemului omogen A⋅(xyz)=(000)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul determinantului: det⁡(A)=a⋅det⁡(a33a)−1⋅det⁡(132a)+2⋅det⁡(1a23)=a(a2−9)−(a−6)+2(3−2a)=a3−14a+12\det(A) = a \cdot \det \begin{pmatrix} a & 3 \\ 3 & a \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & a \end{pmatrix} + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = a(a^2 - 9) - (a - 6) + 2(3 - 2a) = a^3 - 14a + 12.
23 puncte
Rezolvarea ecuației a3−14a+12=0a^3 - 14a + 12 = 0. Se observă că a=2a=2 este rădăcină; factorizare (a−2)(a2+2a−6)=0(a-2)(a^2+2a-6)=0, deci a=2a=2 sau a=−1±7a=-1\pm\sqrt{7}.
33 puncte
Discuția sistemului: pentru det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0 (adică a≠2,−1±7a \neq 2, -1\pm\sqrt{7}), sistemul are doar soluția trivială x=0\mathbf{x}=\mathbf{0}; pentru det⁡(A)=0\det(A)=0, sistemul are infinitate de soluții; se pot determina soluțiile parametrizate pentru fiecare caz (de exemplu, pentru a=2a=2, sistemul devine {2x+y+2z=0x+2y+3z=02x+3y+2z=0\begin{cases} 2x + y + 2z = 0 \\ x + 2y + 3z = 0 \\ 2x + 3y + 2z = 0 \end{cases} cu soluții x=−z,y=0x = -z, y = 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.