MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciIdentități algebrice
Fie matricea A=(xyzyzxzxy)A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{pmatrix} cu x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. a) Calculați determinantul lui AA. b) Demonstrați că dacă x+y+z=0x+y+z=0, atunci A3=det⁡(A)⋅IA^3 = \det(A) \cdot I, unde II este matricea identitate de ordinul 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm determinantul matricei A folosind regula lui Sarrus: det⁡(A)=xyz+xyz+xyz−(z3+x3+y3)=3xyz−(x3+y3+z3)\det(A) = xyz + xyz + xyz - (z^3 + x^3 + y^3) = 3xyz - (x^3 + y^3 + z^3). \n
23 puncte
Folosim identitatea algebrică x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx). Dacă x+y+z=0x+y+z=0, atunci x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz, deci det⁡(A)=0\det(A) = 0. \n
33 puncte
Calculăm A2=(x2+yz+z2xy+yz+zxxz+xy+y2xy+yz+zxy2+zx+x2yz+xy+z2xz+xy+y2yz+xy+z2z2+xy+y2)A^2 = \begin{pmatrix} x^2+yz+z^2 & xy+yz+zx & xz+xy+y^2 \\ xy+yz+zx & y^2+zx+x^2 & yz+xy+z^2 \\ xz+xy+y^2 & yz+xy+z^2 & z^2+xy+y^2 \end{pmatrix} și A3=A⋅A2A^3 = A \cdot A^2. Din x+y+z=0x+y+z=0, simplificăm elementele și obținem A3=(000000000)=0⋅I=det⁡(A)⋅IA^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot I = \det(A) \cdot I, deoarece det⁡(A)=0\det(A)=0. Astfel, afirmația este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.