MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameGeometrie Analitică
Fie matricea A=(1xx21yy21zz2)A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix}. Calculați determinantul det⁡(A)\det(A) și demonstrați că este egal cu (x−y)(y−z)(z−x)(x-y)(y-z)(z-x). Apoi, folosind acest rezultat, determinați condițiile pe care trebuie să le îndeplinească numerele reale a,b,ca, b, c pentru ca punctele (a,a2)(a, a^2), (b,b2)(b, b^2), (c,c2)(c, c^2) să fie coliniare.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați det⁡(A)\det(A) prin scăderea linilor sau proprietăți Vandermonde: det⁡(A)=(x−y)(y−z)(z−x)\det(A) = (x-y)(y-z)(z-x).
23 puncte
Explicați că dacă det⁡(A)=0\det(A)=0, atunci coloanele sunt liniar dependente, ceea ce implică că punctele (x,x2)(x,x^2), (y,y2)(y,y^2), (z,z2)(z,z^2) sunt coliniare într-un sistem de coordonate.
33 puncte
Aplicați la matricea cu x=a,y=b,z=cx=a, y=b, z=c: punctele sunt coliniare dacă și numai dacă det⁡((1aa21bb21cc2))=0\det(\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix})=0, adică (a−b)(b−c)(c−a)=0(a-b)(b-c)(c-a)=0, deci cel puțin două dintre a,b,ca, b, c sunt egale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.