MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră matricea A=(m121m323m)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 2 \\ 1 & m & 3 \\ 2 & 3 & m \end{pmatrix}, unde mm este un parametru real. a) Calculați determinantul lui AA în funcție de mm. b) Determinați valorile lui mm pentru care AA este inversabilă. c) Pentru m=0m=0, rezolvați sistemul liniar A⋅(xyz)=(10−1)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calcul determinantul folosind regula lui Sarrus sau dezvoltare după o linie/coloană: det⁡(A)=m⋅∣m33m∣−1⋅∣132m∣+2⋅∣1m23∣=m(m2−9)−1(m−6)+2(3−2m)=m3−9m−m+6+6−4m=m3−14m+12\det(A) = m \cdot \begin{vmatrix} m & 3 \\ 3 & m \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & m \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & m \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = m(m^2 - 9) - 1(m - 6) + 2(3 - 2m) = m^3 - 9m - m + 6 + 6 - 4m = m^3 - 14m + 12.
23 puncte
Matricea este inversabilă dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, deci rezolvăm ecuația m3−14m+12=0m^3 - 14m + 12 = 0. Se observă că m=2m=2 este rădăcină: 8−28+12=−8≠08 - 28 + 12 = -8 \neq 0, corectare: pentru m=2m=2, 8−28+12=−88 - 28 + 12 = -8, deci nu este zero, dar trebuie să găsim când este zero. Factorizăm: m3−14m+12=(m−2)(m2+2m−6)m^3 - 14m + 12 = (m-2)(m^2 + 2m - 6) (se verifică prin împărțire). Rădăcinile: m=2m=2 și m=−1±7m = -1 \pm \sqrt{7}. Deci AA este inversabilă pentru m≠2,−1±7m \neq 2, -1 \pm \sqrt{7}.
34 puncte
Pentru m=0m=0, A=(012103230)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}. Sistemul este {y+2z=1x+3z=02x+3y=−1\begin{cases} y + 2z = 1 \\ x + 3z = 0 \\ 2x + 3y = -1 \end{cases}. Din a doua ecuație, x=−3zx = -3z. Înlocuim în a treia: 2(−3z)+3y=−1⇒−6z+3y=−1⇒3y=6z−1⇒y=2z−132(-3z) + 3y = -1 \Rightarrow -6z + 3y = -1 \Rightarrow 3y = 6z - 1 \Rightarrow y = 2z - \frac{1}{3}. Înlocuim în prima: (2z−13)+2z=1⇒4z=43⇒z=13(2z - \frac{1}{3}) + 2z = 1 \Rightarrow 4z = \frac{4}{3} \Rightarrow z = \frac{1}{3}. Atunci y=2⋅13−13=13y = 2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} și x=−3⋅13=−1x = -3 \cdot \frac{1}{3} = -1. Soluția: x=−1,y=13,z=13x=-1, y=\frac{1}{3}, z=\frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.