MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiVectoriGeometrie Analitică
Se dau punctele A(1,1,0)A(1,1,0), B(2,0,1)B(2,0,1), C(0,1,2)C(0,1,2), D(1,2,1)D(1,2,1) în spațiu. Calculați determinantul matricei având drept coloane coordonatele vectorilor AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC}, AD⃗\vec{AD}. Folosiți acest determinant pentru a determina dacă punctele sunt coplanare și pentru a calcula volumul paralelipipedului determinat de acești vectori.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează vectorii: AB⃗=(1,−1,1)\vec{AB} = (1, -1, 1), AC⃗=(−1,0,2)\vec{AC} = (-1, 0, 2), AD⃗=(0,1,1)\vec{AD} = (0, 1, 1).
24 puncte
Se calculează determinantul D=∣1−11−102011∣D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}. Expandând de-a lungul primei linii: D=1⋅∣0211∣−(−1)⋅∣−1201∣+1⋅∣−1001∣=1(0⋅1−2⋅1)+1(−1⋅1−2⋅0)+1(−1⋅1−0⋅0)=−2−1−1=−4D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(0\cdot1 - 2\cdot1) + 1(-1\cdot1 - 2\cdot0) + 1(-1\cdot1 - 0\cdot0) = -2 -1 -1 = -4.
33 puncte
Interpretare geometrică: Dacă D≠0D \neq 0, punctele A,B,C,DA, B, C, D nu sunt coplanare. Volumul paralelipipedului determinat de vectorii AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC}, AD⃗\vec{AD} este ∣D∣=4|D| = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.