MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 numere complexe. Calculați determinantul Δ=∣111z1z2z3z12z22z32∣\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ z_1 & z_2 & z_3 \\ z_1^2 & z_2^2 & z_3^2 \end{vmatrix} și demonstrați că Δ=(z2−z1)(z3−z1)(z3−z2)\Delta = (z_2 - z_1)(z_3 - z_1)(z_3 - z_2). Aplicați acest rezultat pentru a determina condițiile în care punctele afixe ale numerelor complexe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 sunt coliniare în planul complex.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul Δ\Delta folosind reducerea la formă triangulară sau proprietăți ale determinantului Vandermonde.
23 puncte
Factorizați expresia pentru a obține produsul diferențelor, verificând prin calcul algebric sau utilizarea relațiilor dintre rădăcini.
33 puncte
Stabiliți că punctele sunt coliniare dacă și numai dacă Δ=0\Delta = 0, adică dacă cel puțin două numere sunt egale sau dacă numerele satisfac o condiție de aliniere (de exemplu, rapoarte egale ale părților reale și imaginare), explicând legătura cu geometria analitică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.