MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoameMatrici
Fie matricea A=(1xx21yy21zz2)A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix}, unde x,y,zx, y, z sunt rădăcinile ecuației t3−2t2+t−3=0t^3 - 2t^2 + t - 3 = 0. Calculați det⁡(A)\det(A).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Identificăm că matricea AA este de tip Vandermonde, deci det⁡(A)=(y−x)(z−x)(z−y)\det(A) = (y-x)(z-x)(z-y).
24 puncte
Folosim relațiile lui Viete pentru ecuația dată: x+y+z=2x+y+z=2, xy+yz+zx=1xy+yz+zx=1, xyz=3xyz=3.
33 puncte
Calculăm det⁡(A)2=(x−y)2(y−z)2(z−x)2=(x+y+z)2(xy+yz+zx)2−4(xy+yz+zx)3−4(x+y+z)3xyz+18(x+y+z)(xy+yz+zx)xyz−27(xyz)2\det(A)^2 = (x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2 = (x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2 - 4(xy+yz+zx)^3 - 4(x+y+z)^3 xyz + 18(x+y+z)(xy+yz+zx)xyz - 27(xyz)^2. Înlocuim valorile: 22⋅12−4⋅13−4⋅23⋅3+18⋅2⋅1⋅3−27⋅32=4−4−96+108−243=−2312^2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1^3 - 4 \cdot 2^3 \cdot 3 + 18 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 - 27 \cdot 3^2 = 4 - 4 - 96 + 108 - 243 = -231. Așadar, det⁡(A)=±i231\det(A) = \pm i\sqrt{231}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.