MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră matricea M=(xyzyzxzxy)M = \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{pmatrix}, unde x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. Calculați det⁡(M)\det(M) și demonstrați că det⁡(M)=−(x3+y3+z3−3xyz)\det(M) = -(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz). Apoi, folosind această expresie, determinați condiția ca sistemul omogen asociat {xu+yv+zw=0yu+zv+xw=0zu+xv+yw=0\begin{cases} x u + y v + z w = 0 \\ y u + z v + x w = 0 \\ z u + x v + y w = 0 \end{cases} să aibă soluții nenule.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul prin dezvoltare după prima linie: det⁡(M)=x⋅det⁡(zxxy)−y⋅det⁡(yxzy)+z⋅det⁡(yzzx)=x(zy−x2)−y(y2−xz)+z(xy−z2)=xyz−x3−y3+xyz+xyz−z3=3xyz−x3−y3−z3=−(x3+y3+z3−3xyz)\det(M) = x \cdot \det\begin{pmatrix} z & x \\ x & y \end{pmatrix} - y \cdot \det\begin{pmatrix} y & x \\ z & y \end{pmatrix} + z \cdot \det\begin{pmatrix} y & z \\ z & x \end{pmatrix} = x(z y - x^2) - y(y^2 - x z) + z(x y - z^2) = xyz - x^3 - y^3 + xyz + xyz - z^3 = 3xyz - x^3 - y^3 - z^3 = -(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz).
24 puncte
Sistemul omogen are soluții nenule dacă și numai dacă determinantul matricei coeficienților este zero, adică det⁡(M)=0\det(M) = 0. Rezultă condiția x3+y3+z3−3xyz=0x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 sau x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz.
32 puncte
Discutați implicații, de exemplu, pentru x=y=zx = y = z, condiția este întotdeauna satisfăcută, iar sistemul are infinitate de soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.