MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Calculați determinantul matricei A=(2−13104−251)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix} și determinați dacă matricea este inversabilă. Apoi, folosind regula lui Cramer, rezolvați sistemul {2x−y+3z=5x+4z=3−2x+5y+z=0\begin{cases} 2x - y + 3z = 5 \\ x + 4z = 3 \\ -2x + 5y + z = 0 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul lui A folosind regula lui Sarrus sau dezvoltare după o linie. det⁡(A)=2⋅∣0451∣−(−1)⋅∣14−21∣+3⋅∣10−25∣=2(0⋅1−4⋅5)+1(1⋅1−4⋅(−2))+3(1⋅5−0⋅(−2))=2(−20)+1(1+8)+3(5)=−40+9+15=−16\det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = 2(0 \cdot 1 - 4 \cdot 5) + 1(1 \cdot 1 - 4 \cdot (-2)) + 3(1 \cdot 5 - 0 \cdot (-2)) = 2(-20) + 1(1+8) + 3(5) = -40 + 9 + 15 = -16. Deci det⁡(A)=−16\det(A) = -16.
23 puncte
Deoarece det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, matricea A este inversabilă.
33 puncte
Pentru sistemul dat, matricea coeficienților este A. Calculați determinanții pentru x, y, z: Dx=∣5−13304051∣=5⋅∣0451∣−(−1)⋅∣3401∣+3⋅∣3005∣=5(0−20)+1(3−0)+3(15−0)=−100+3+45=−52D_x = \begin{vmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 5(0-20) + 1(3-0) + 3(15-0) = -100 + 3 + 45 = -52, Dy=∣253134−201∣=2⋅∣3401∣−5⋅∣14−21∣+3⋅∣13−20∣=2(3−0)−5(1−(−8))+3(0−(−6))=2⋅3−5⋅9+3⋅6=6−45+18=−21D_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 2(3-0) - 5(1-(-8)) + 3(0-(-6)) = 2 \cdot 3 - 5 \cdot 9 + 3 \cdot 6 = 6 - 45 + 18 = -21, Dz=∣2−15103−250∣=2⋅∣0350∣−(−1)⋅∣13−20∣+5⋅∣10−25∣=2(0−15)+1(0−(−6))+5(5−0)=−30+6+25=1D_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 1 & 0 & 3 \\ -2 & 5 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = 2(0-15) + 1(0-(-6)) + 5(5-0) = -30 + 6 + 25 = 1. Soluțiile sunt x=Dx/det⁡(A)=−52/−16=13/4x = D_x / \det(A) = -52 / -16 = 13/4, y=Dy/det⁡(A)=−21/−16=21/16y = D_y / \det(A) = -21 / -16 = 21/16, z=Dz/det⁡(A)=1/−16=−1/16z = D_z / \det(A) = 1 / -16 = -1/16.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.